1. The category of abelian groups is the fundamental example of an abelian category, and accordingly every subgroup of an abelian group is a normal subgroup.

Категоррия абелевых групп — важнейший пример абелевой категории и, в частности, каждая подгруппа абелевой группы нормальна.

2. A semisimple Lie group does not have any non-discrete normal abelian subgroups.

A полупростая группа Ли не имеет недискретной нормальной абелевой подгруппы.

3. Every subgroup of a free abelian group is itself a free abelian group.

В то же время, любая её счётная подгруппа является свободной абелевой.

4. The 2-sylow subgroups of the Ree groups are elementary abelian of order 8.

2-Силовские подгруппы групп Ри являются абелевыми с порядком 8.

5. A group that is not abelian but for which every subgroup is normal is called a Hamiltonian group.

Неабелева группа, у которой любая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой.

6. A4 is the smallest group demonstrating that the converse of Lagrange's theorem is not true in general: given a finite group G and a divisor d of |G|, there does not necessarily exist a subgroup of G with order d: the group G = A4 has no subgroup of order 6.

A4 является наименьшей группой, показывающей, что теорема, обратная теореме Лагранжа, в общем случае, не верна — если дана конечная группа G и делитель d числа |G|, не обязательно существует подгруппа группы G с порядком d — группа G = A4 не имеет подгруппы порядка 6.